七个分布的期望与方差

【七个分布的期望与方差】在概率论与数理统计中，常见的概率分布有多种，每种分布都有其特定的数学性质，其中期望和方差是描述随机变量集中趋势和离散程度的重要指标。本文将对七种常见分布的期望与方差进行总结，并以表格形式呈现。

一、二项分布（Binomial Distribution）

定义：设随机变量 $ X $ 表示在 $ n $ 次独立试验中成功发生的次数，每次试验成功的概率为 $ p $，则 $ X \sim B(n, p) $。

- 期望：$ E(X) = np $

- 方差：$ Var(X) = np(1-p) $

二、泊松分布（Poisson Distribution）

定义：设随机变量 $ X $ 表示单位时间内事件发生的次数，参数为 $ \lambda $，则 $ X \sim P(\lambda) $。

- 期望：$ E(X) = \lambda $

- 方差：$ Var(X) = \lambda $

三、正态分布（Normal Distribution）

定义：设随机变量 $ X $ 服从均值为 $ \mu $，方差为 $ \sigma^2 $ 的正态分布，记作 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $。

- 期望：$ E(X) = \mu $

- 方差：$ Var(X) = \sigma^2 $

四、均匀分布（Uniform Distribution）

定义：设随机变量 $ X $ 在区间 $ [a, b] $ 上均匀分布，则 $ X \sim U(a, b) $。

- 期望：$ E(X) = \frac{a + b}{2} $

- 方差：$ Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12} $

五、指数分布（Exponential Distribution）

定义：设随机变量 $ X $ 表示事件发生的时间间隔，参数为 $ \lambda $，则 $ X \sim Exp(\lambda) $。

- 期望：$ E(X) = \frac{1}{\lambda} $

- 方差：$ Var(X) = \frac{1}{\lambda^2} $

六、几何分布（Geometric Distribution）

定义：设随机变量 $ X $ 表示首次成功前的失败次数，每次试验成功的概率为 $ p $，则 $ X \sim Ge(p) $。

- 期望：$ E(X) = \frac{1 - p}{p} $

- 方差：$ Var(X) = \frac{1 - p}{p^2} $

七、超几何分布（Hypergeometric Distribution）

定义：设从一个包含 $ N $ 个个体的总体中抽取 $ n $ 个样本，其中有 $ K $ 个“成功”个体，随机变量 $ X $ 表示样本中“成功”个体的数量，则 $ X \sim H(N, K, n) $。

- 期望：$ E(X) = \frac{nK}{N} $

- 方差：$ Var(X) = \frac{nK(N-K)(N-n)}{N^2(N-1)} $

总结表格

通过以上总结，可以清晰地了解这七种常见分布的期望与方差，有助于在实际问题中快速选择合适的模型进行分析和计算。

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