大家好，我是小典，我来为大家解答以上问题。stolz定理证明，stolz定理很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！
1、设有数列An,Bn 若Bn>0递增且有n-->+∞时Bn-->+∞(以下lim均表示lim(n-->∞))
2、 则有:
3、 若lim(A(n+1)-An)/(B(n+1)-Bn)=L(L可以是0,有限数,或+∞(-∞))
4、 ==>lim(An)/(Bn)=L
5、 证明如下:
6、 1)当L=0时;
7、 由条件得:
8、 对任意e>0 存在N使 当n>N时有:
9、 |(An+1-An)/(Bn+1-Bn)-L|<e,即|(An+1-An)/(Bn+1-Bn)|<e;
10、 又Bn>0递增且有n-->+∞时Bn-->+∞,
11、 原式化为:|An+1-An|<e*(Bn+1-Bn)......(1);
12、 固定e,则存在N1>=N,当n>N1时,有
13、 -e*BN+|AN|<e*Bn
14、 即|AN|<e*(BN+Bn) ..........(2)重要!!!!!
15、 |An|<=|An-An-1|+|An-1-An-2|+....+|AN+1-AN|+|AN|,代入(1)式,得:
16、 <=e*(Bn-Bn-1)+.....+e(BN+1-BN)+|AN|,代入(2)式,得:
17、 <e*(Bn-BN)+e*(Bn+BN)
18、 即|An|<2e*Bn
19、 故|(An)/(Bn)-0|<2e
20、 由数列定义知lim(An)/(Bn)=0
21、 2)当L=C (C!=0)时
22、 即有lim(An+1-An)/(Bn+1-Bn)=C,
23、 令Cn=An-C*Bn,
24、 显然有lim(Cn+1-Cn)/(Bn+1-Bn)=0,
25、 由1)得:
26、 故lim(Cn)/(Bn)=0,
27、 即有lim(An)/(Bn)=C,
28、 3)当L=+∞(L=-∞时类证)时
29、 存在N,当n>N时
30、 有(An+1-An)/(Bn+1-Bn)>1
31、 得出An>Bn>0,且满足An>0递增且有n-->+∞时An-->+∞
32、 所以lim(Bn+1-Bn)/(An+1-An)=0+ (0+即从正数趋近于0)
33、 由1)得:
34、 lim(Bn)/(An)=0+
35、 故lim(An)/(Bn)=+∞
本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。