大家好，我是小典，我来为大家解答以上问题。幂级数展开式和泰勒公式区别，幂级数展开很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！
这都是定积分.
1. ∫{0,1} ln(x)/(1+x) dx 其实是个瑕积分, 按定义是lim{ε→0+} ∫{ε,1} ln(x)/(1+x) dx.
由分部积分公式, ∫{ε,1} ln(x)/(1+x) dx = ln(1)ln(2)-ln(ε)ln(1+ε)-∫{ε,1} ln(1+x)/x dx.
当ε→0+, ln(1)ln(2)-ln(ε)ln(1+ε) = -ln(ε)ln(1+ε)收敛到0.
而∫{ε,1} ln(1+x)/x dx收敛到∫{0,1} ln(1+x)/x dx.
因此∫{0,1} ln(x)/(1+x) dx = -∫{0,1} ln(1+x)/x dx, 问题化为第2问.
2. 在x = 0处幂级数展开ln(1+x) = x-x²/2+x³/3-... = ∑{n ≥ 1} (-1)^(n-1)·x^n/n
因此ln(1+x)/x = 1-x/2+x²/3-x³/4+... = ∑{n ≥ 1} (-1)^(n-1)·x^(n-1)/n
级数在(-1,1)内闭一致收敛, 可逐项积分.
对0 < a < 1, 有∫{0,a} ln(1+x)/x dx = a-a²/2²+a³/3²-... = ∑{n ≥ 1} (-1)^(n-1)·a^n/n².
令a→1-, 可得∫{0,1} ln(1+x)/x dx = 1-1/2²+1/3²-... = ∑{n ≥ 1} (-1)^(n-1)·1/n².
如果承认正整数平方倒数和∑{n ≥ 1} 1/n² = π²/6, 那么可以算出∑{n ≥ 1} (-1)^(n-1)·1/n².
首先偶数平方倒数和∑{n ≥ 1} 1/(2n)² = (1/4)·∑{n ≥ 1} 1/n² = π²/24.
于是奇数平方倒数和∑{n ≥ 1} 1/(2n-1)² = (∑{n ≥ 1} 1/n²)-(∑{n ≥ 1} 1/(2n)²) = π²/8.
故∑{n ≥ 1} (-1)^(n-1)·1/n² = 奇数平方倒数和-偶数平方倒数和 = π²/12.
∫{0,1} ln(1+x)/x dx = π²/12.
∫{0,1} ln(x)/(1+x) dx = -π²/12.
本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。