大家好，我是小曜，我来为大家解答以上问题。不动点法求数列通项结论，不动点法求数列通项很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！
1、通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全为0的常数，c、e不同时为0】的通项，我们可以采用不动点法来解。假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n])，我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程，其根称为函数f(x)的不动点。至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项，这足可以写一本书。但大致的理解可以这样认为，当n趋于无穷时，如果数列{a[n]}存在极限，a[n]和a[n+1]是没有区别的。
2、 首先，要注意，并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程，比如：a[n+1]=a[n]+1/a[n]。其次，不动点有相异不动点和重合不动点。
3、下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧。
4、例1：已知a[1]=2，a[n+1]=2/(a[n]+1)，求通项。
5、【说明：这题是“相异不动点”的例子。】
6、解：先求不动点
7、∵a[n+1]=2/(a[n]+1)
8、∴令 x=2/(x+1),解得不动点为：x=1 和 x=-2 【相异不动点】
9、∴(a[n+1]-1)/(a[n+1]+2) 【使用不动点】
10、 =(2/(a[n]+1)-1)/(2/(a[n]+1)+2)
11、 =(2-a[n]-1)/(2+2a[n]+2)
12、 =(-a[n]+1)/(2a[n]+4)
13、 =(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2)
14、∵a[1]=2
15、∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4
16、∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列
17、∴(a[n]-1)/(a[n]+2)=1/4(-1/2)^(n-1)
18、解得：a[n]=3/[1-(-1/2)^(n+1)]-2
19、例2：已知数列{a[n]}满足a[1]=3，a[n]a[n-1]=2a[n-1]-1，求通项。
20、【说明：这题是“重合不动点”的例子。“重合不动点”往往采用取倒数的方法。】
21、解：∵a[n]=2-1/a[n-1]
22、∴采用不动点法，令：x=2-1/x
23、即：x^2-2x+1=0
24、∴x=1 【重合不动点】
25、∵a[n]=2-1/a[n-1]
26、∴a[n]-1=2-1/a[n-1]-1 【使用不动点】
27、a[n]-1=(a[n-1]-1)/a[n-1]
28、两边取倒数，得：1/(a[n]-1)=a[n-1]/(a[n-1]-1)
29、即：1/(a[n]-1)-1/(a[n-1]-1)=1
30、∵a[1]=3
31、∴{1/(a[n]-1)}是首项为1/(a[1]-1)=1/2，公差为1的等差数列
32、即：1/(a[n]-1)=1/2+(n-1)=(2n-1)/2
33、∴a[n]=2/(2n-1)+1=(2n+1)/(2n-1)
34、例3：已知数列{a[n]}满足a[1]=1/2，S[n]=a[n]n^2-n(n-1)，求通项。
35、【说明：上面两个例子中获得的不动点方程系数都是常数，现在看个不动点方程系数包含n的例子。】
36、解：∵S[n]=a[n]n^2-n(n-1)
37、∴S[n+1]=a[n+1](n+1)^2-(n+1)n
38、将上面两式相减，得：
39、a[n+1]=a[n+1](n+1)^2-a[n]n^2-(n+1)n+n(n-1)
40、(n^2+2n)a[n+1]=a[n]n^2+2n
41、(n+2)a[n+1]=na[n]+2
42、a[n+1]=a[n]n/(n+2)+2/(n+2) 【1】
43、采用不动点法，令：x=xn/(n+2)+2/(n+2)
44、解得：x=1 【重合不动点】
45、设：a[n]-1=b[n]，则：a[n]=b[n]+1 【使用不动点】
46、代入【1】式，得：b[n+1]+1=(b[n]+1)n/(n+2)+2/(n+2)
47、b[n+1]=b[n]n/(n+2)
48、即：b[n+1]/b[n]=n/(n+2)
49、于是：【由于右边隔行约分，多写几行看得清楚点】
50、b[n]/b[n-1]=(n-1)/(n+1) 【这里保留分母】
51、b[n-1]/b[n-2]=(n-2)/n 【这里保留分母】
52、b[n-2]/b[n-3]=(n-3)/(n-1)
53、b[n-3]/b[n-4]=(n-4)/(n-2)
54、......
55、b[5]/b[4]=4/6
56、b[4]/b[3]=3/5
57、b[3]/b[2]=2/4 【这里保留分子】
58、b[2]/b[1]=1/3 【这里保留分子】
59、将上述各项左右各自累乘，得：
60、b[n]/b[1]=(1*2)/[n(n+1)]
61、∵a[1]=1/2
62、∴b[1]=a[1]-1=-1/2
63、∴b[n]=-1/[n(n+1)]
64、∴通项a[n]=b[n]+1=1-1/[n(n+1)]
65、例4：已知数列{a[n]}满足a[1]=2，a[n+1]=(2a[n]+1)/3，求通项。
66、【说明：这个例子说明有些题目可以采用不动点法，也可以采用其他解法。】
67、解：∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3
68、求不动点：x=(2x+1)/3，得：x=1 【重合不动点】
69、∴a[n+1]-1=(2a[n]+1)/3-1 【使用不动点】
70、即：a[n+1]-1=(2/3)(a[n]-1)
71、∴{a[n]-1}是首项为a[1]-1=1，公比为2/3的等比数列
72、即：a[n]-1=(2/3)^(n-1)
73、∴a[n]=1+(2/3)^(n-1)
74、【又】解：∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3
75、∴3a[n+1]=2a[n]+1
76、这时也可以用待定系数法，甚至直接用观察法，即可得到：
77、3a[n+1]-3=2a[n]-2
78、∴a[n+1]-1=(2/3)(a[n]-1)
79、【下面同上】
80、例5：已知数列{x[n]}满足x[1]=2，x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n])，求通项。
81、【说明：现在举个不动点是无理数的例子，其中还要采用对数的方法。】
82、解：∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n])
83、∴采用不动点法，设：y=(y^2+2)/(2y)
84、y^2=2
85、解得不动点是：y=±√2 【相异不动点为无理数】
86、∴(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2) 【使用不动点】
87、={(x[n]^2+2)/2x[n]-√2}/{(x[n]^2+2)/2x[n]+√2}
88、=(x[n]^2-2√2x[n]+2)/(x[n]^2+2√2x[n]+2)
89、={(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}^2
90、∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/2x[n]=x[n]/2+1/x[n]≥2/√2=√2
91、∴ln{(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2)}=2ln{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)} 【取对数】
92、∵x[1]=2>√2
93、∴(x[1]-√2)/(x[1]+√2)=3-2√2
94、∴{ln((x[n]-√2)/(x[n]+√2))}是首项为ln(3-2√2)，公比为2的等比数列
95、即：ln{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}=2^(n-1)ln(3-2√2)
96、(x[n]-√2)/(x[n]+√2)=(3-2√2)^[2^(n-1)]
97、x[n]-√2=(3-2√2)^[2^(n-1)](x[n]+√2)
98、x[n]-x[n](3-2√2)^[2^(n-1)]=√2(3-2√2)^[2^(n-1)]+√2
99、∴x[n]=√2{1+(3-2√2)^[2^(n-1)]}/{1-(3-2√2)^[2^(n-1)]}
100、例6：已知数列{a[n]}满足a[1]=2，a[n+1]=(1+a[n])/(1-a[n])，求通项。
101、【说明：现在举个不动点是虚数的例子，说明有些题目可以采用不动点法，但采用其他解法可能更方便。】
102、解：求不动点：x=(1+x)/(1-x)，即：x^2=-1，得：
103、x[1]=i，x[2]=-i 【相异不动点为虚数，i为虚数单位】
104、∴(a[n+1]-i)/(a[n+1]+i) 【使用不动点】
105、={(1+a[n])/(1-a[n]-i}/{(1+a[n])/(1-a[n]+i}
106、=(1+a[n]-i+a[n]i)/(1+a[n]+i-a[n]i)
107、={(1+i)/(1-i)}{(a[n]-i)/(a[n]+i)}
108、=i(a[n]-i)/(a[n]+i)
109、∵a[1]=2
110、∴{(a[n]-i)/(a[n]+i)}是首项为(a[1]-i)/(a[1]+i)=(2-i)/(2+i)，公比为i的等比数列
111、即：(a[n]-i)/(a[n]+i)=[(2-i)/(2+i)]i^(n-1)
112、(a[n]-i)(2+i)=(a[n]+i)(2-i)i^(n-1)
113、2a[n]-2i+ia[n]+1=(2a[n]+2i-ia[n]+1)i^(n-1)
114、{2+i-(2-i)(i)^(n-1)}a[n]=2i-1+(2i+1)i^(n-1)
115、a[n]=[2i-1+(2i+1)i^(n-1)]/[2+i-(2-i)i^(n-1)]
116、∴a[n]=[2i-1+(2-i)i^n]/[2+i-(2-i)i^(n-1)]
117、【下面用“三角代换”，看看是否更巧妙一些。】
118、解：∵a[n+1]=(1+a[n])/(1-a[n])
119、∴令a[n]=tanθ，则a[n+1]=[tan(π/4)+tanθ]/[1-tan(π/4)tanθ]=tan(π/4+θ)
120、∵θ=arctan(a[n])，π/4+θ=arctan(a[n+1])
121、∴上面两式相减，得：arctan(a[n+1])-arctan(a[n])=π/4
122、∵a[1]=2
123、∴{arctan(a[n])}是首项为arctan(a[1])=arctan2，公差为π/4的等差数列
124、即：arctan(a[n])=arctan2+(n-1)π/4
125、∴a[n]=tan[(n-1)π/4+arctan2]
本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。