不动点法求数列通项结论(不动点法求数列通项)

导读 大家好,我是小曜,我来为大家解答以上问题。不动点法求数列通项结论,不动点法求数列通项很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!1、通...

大家好,我是小曜,我来为大家解答以上问题。不动点法求数列通项结论,不动点法求数列通项很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0】的通项,我们可以采用不动点法来解。假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n]),我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程,其根称为函数f(x)的不动点。至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书。但大致的理解可以这样认为,当n趋于无穷时,如果数列{a[n]}存在极限,a[n]和a[n+1]是没有区别的。

2、 首先,要注意,并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程,比如:a[n+1]=a[n]+1/a[n]。其次,不动点有相异不动点和重合不动点。

3、下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧。

4、例1:已知a[1]=2,a[n+1]=2/(a[n]+1),求通项。

5、【说明:这题是“相异不动点”的例子。】

6、解:先求不动点

7、∵a[n+1]=2/(a[n]+1)

8、∴令 x=2/(x+1),解得不动点为:x=1 和 x=-2 【相异不动点】

9、∴(a[n+1]-1)/(a[n+1]+2) 【使用不动点】

10、 =(2/(a[n]+1)-1)/(2/(a[n]+1)+2)

11、 =(2-a[n]-1)/(2+2a[n]+2)

12、 =(-a[n]+1)/(2a[n]+4)

13、 =(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2)

14、∵a[1]=2

15、∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4

16、∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列

17、∴(a[n]-1)/(a[n]+2)=1/4(-1/2)^(n-1)

18、解得:a[n]=3/[1-(-1/2)^(n+1)]-2

19、例2:已知数列{a[n]}满足a[1]=3,a[n]a[n-1]=2a[n-1]-1,求通项。

20、【说明:这题是“重合不动点”的例子。“重合不动点”往往采用取倒数的方法。】

21、解:∵a[n]=2-1/a[n-1]

22、∴采用不动点法,令:x=2-1/x

23、即:x^2-2x+1=0

24、∴x=1 【重合不动点】

25、∵a[n]=2-1/a[n-1]

26、∴a[n]-1=2-1/a[n-1]-1 【使用不动点】

27、a[n]-1=(a[n-1]-1)/a[n-1]

28、两边取倒数,得:1/(a[n]-1)=a[n-1]/(a[n-1]-1)

29、即:1/(a[n]-1)-1/(a[n-1]-1)=1

30、∵a[1]=3

31、∴{1/(a[n]-1)}是首项为1/(a[1]-1)=1/2,公差为1的等差数列

32、即:1/(a[n]-1)=1/2+(n-1)=(2n-1)/2

33、∴a[n]=2/(2n-1)+1=(2n+1)/(2n-1)

34、例3:已知数列{a[n]}满足a[1]=1/2,S[n]=a[n]n^2-n(n-1),求通项。

35、【说明:上面两个例子中获得的不动点方程系数都是常数,现在看个不动点方程系数包含n的例子。】

36、解:∵S[n]=a[n]n^2-n(n-1)

37、∴S[n+1]=a[n+1](n+1)^2-(n+1)n

38、将上面两式相减,得:

39、a[n+1]=a[n+1](n+1)^2-a[n]n^2-(n+1)n+n(n-1)

40、(n^2+2n)a[n+1]=a[n]n^2+2n

41、(n+2)a[n+1]=na[n]+2

42、a[n+1]=a[n]n/(n+2)+2/(n+2) 【1】

43、采用不动点法,令:x=xn/(n+2)+2/(n+2)

44、解得:x=1 【重合不动点】

45、设:a[n]-1=b[n],则:a[n]=b[n]+1 【使用不动点】

46、代入【1】式,得:b[n+1]+1=(b[n]+1)n/(n+2)+2/(n+2)

47、b[n+1]=b[n]n/(n+2)

48、即:b[n+1]/b[n]=n/(n+2)

49、于是:【由于右边隔行约分,多写几行看得清楚点】

50、b[n]/b[n-1]=(n-1)/(n+1) 【这里保留分母】

51、b[n-1]/b[n-2]=(n-2)/n 【这里保留分母】

52、b[n-2]/b[n-3]=(n-3)/(n-1)

53、b[n-3]/b[n-4]=(n-4)/(n-2)

54、......

55、b[5]/b[4]=4/6

56、b[4]/b[3]=3/5

57、b[3]/b[2]=2/4 【这里保留分子】

58、b[2]/b[1]=1/3 【这里保留分子】

59、将上述各项左右各自累乘,得:

60、b[n]/b[1]=(1*2)/[n(n+1)]

61、∵a[1]=1/2

62、∴b[1]=a[1]-1=-1/2

63、∴b[n]=-1/[n(n+1)]

64、∴通项a[n]=b[n]+1=1-1/[n(n+1)]

65、例4:已知数列{a[n]}满足a[1]=2,a[n+1]=(2a[n]+1)/3,求通项。

66、【说明:这个例子说明有些题目可以采用不动点法,也可以采用其他解法。】

67、解:∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3

68、求不动点:x=(2x+1)/3,得:x=1 【重合不动点】

69、∴a[n+1]-1=(2a[n]+1)/3-1 【使用不动点】

70、即:a[n+1]-1=(2/3)(a[n]-1)

71、∴{a[n]-1}是首项为a[1]-1=1,公比为2/3的等比数列

72、即:a[n]-1=(2/3)^(n-1)

73、∴a[n]=1+(2/3)^(n-1)

74、【又】解:∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3

75、∴3a[n+1]=2a[n]+1

76、这时也可以用待定系数法,甚至直接用观察法,即可得到:

77、3a[n+1]-3=2a[n]-2

78、∴a[n+1]-1=(2/3)(a[n]-1)

79、【下面同上】

80、例5:已知数列{x[n]}满足x[1]=2,x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n]),求通项。

81、【说明:现在举个不动点是无理数的例子,其中还要采用对数的方法。】

82、解:∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n])

83、∴采用不动点法,设:y=(y^2+2)/(2y)

84、y^2=2

85、解得不动点是:y=±√2 【相异不动点为无理数】

86、∴(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2) 【使用不动点】

87、={(x[n]^2+2)/2x[n]-√2}/{(x[n]^2+2)/2x[n]+√2}

88、=(x[n]^2-2√2x[n]+2)/(x[n]^2+2√2x[n]+2)

89、={(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}^2

90、∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/2x[n]=x[n]/2+1/x[n]≥2/√2=√2

91、∴ln{(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2)}=2ln{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)} 【取对数】

92、∵x[1]=2>√2

93、∴(x[1]-√2)/(x[1]+√2)=3-2√2

94、∴{ln((x[n]-√2)/(x[n]+√2))}是首项为ln(3-2√2),公比为2的等比数列

95、即:ln{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}=2^(n-1)ln(3-2√2)

96、(x[n]-√2)/(x[n]+√2)=(3-2√2)^[2^(n-1)]

97、x[n]-√2=(3-2√2)^[2^(n-1)](x[n]+√2)

98、x[n]-x[n](3-2√2)^[2^(n-1)]=√2(3-2√2)^[2^(n-1)]+√2

99、∴x[n]=√2{1+(3-2√2)^[2^(n-1)]}/{1-(3-2√2)^[2^(n-1)]}

100、例6:已知数列{a[n]}满足a[1]=2,a[n+1]=(1+a[n])/(1-a[n]),求通项。

101、【说明:现在举个不动点是虚数的例子,说明有些题目可以采用不动点法,但采用其他解法可能更方便。】

102、解:求不动点:x=(1+x)/(1-x),即:x^2=-1,得:

103、x[1]=i,x[2]=-i 【相异不动点为虚数,i为虚数单位】

104、∴(a[n+1]-i)/(a[n+1]+i) 【使用不动点】

105、={(1+a[n])/(1-a[n]-i}/{(1+a[n])/(1-a[n]+i}

106、=(1+a[n]-i+a[n]i)/(1+a[n]+i-a[n]i)

107、={(1+i)/(1-i)}{(a[n]-i)/(a[n]+i)}

108、=i(a[n]-i)/(a[n]+i)

109、∵a[1]=2

110、∴{(a[n]-i)/(a[n]+i)}是首项为(a[1]-i)/(a[1]+i)=(2-i)/(2+i),公比为i的等比数列

111、即:(a[n]-i)/(a[n]+i)=[(2-i)/(2+i)]i^(n-1)

112、(a[n]-i)(2+i)=(a[n]+i)(2-i)i^(n-1)

113、2a[n]-2i+ia[n]+1=(2a[n]+2i-ia[n]+1)i^(n-1)

114、{2+i-(2-i)(i)^(n-1)}a[n]=2i-1+(2i+1)i^(n-1)

115、a[n]=[2i-1+(2i+1)i^(n-1)]/[2+i-(2-i)i^(n-1)]

116、∴a[n]=[2i-1+(2-i)i^n]/[2+i-(2-i)i^(n-1)]

117、【下面用“三角代换”,看看是否更巧妙一些。】

118、解:∵a[n+1]=(1+a[n])/(1-a[n])

119、∴令a[n]=tanθ,则a[n+1]=[tan(π/4)+tanθ]/[1-tan(π/4)tanθ]=tan(π/4+θ)

120、∵θ=arctan(a[n]),π/4+θ=arctan(a[n+1])

121、∴上面两式相减,得:arctan(a[n+1])-arctan(a[n])=π/4

122、∵a[1]=2

123、∴{arctan(a[n])}是首项为arctan(a[1])=arctan2,公差为π/4的等差数列

124、即:arctan(a[n])=arctan2+(n-1)π/4

125、∴a[n]=tan[(n-1)π/4+arctan2]

本文到此讲解完毕了,希望对大家有帮助。

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