导读 大家好，我是小典，我来为大家解答以上问题。曲面积分三合一公式，曲面积分很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！1、这是第二型曲面积...
大家好，我是小典，我来为大家解答以上问题。曲面积分三合一公式，曲面积分很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！
1、这是第二型曲面积分，曲面的显示表达式为z＝－根号(R^2－x^2－y^2)
2、法向量的第三个分量是－1，记D为x^2+y^2<=R^2，于是
3、原积分＝二重积分_(D) x^2*y^2*(－根号(R^2－x^2－y^2))*(－1)dxdy
4、注意上式最后一个－1是因为求的是下侧。
5、用极坐标x＝rcosa，y＝rsina，jacobian行列式为r，
6、＝积分（从0到R）dr 积分（从0到2pi）r^4*cos^2a*sin^2a*根号(R^2－r^2)rda
7、关于a的积分＝积分（从0到2pi）(1－cos4a)/8=pi/4。
8、关于r的积分在做变量替换r＝sina，0<=a<=pi/2，
9、化为积分（从0到pi/2）sin^5a*cos^2ada
10、=1/3－2/5+1/7＝8/105，最后得
11、＝2pi/105。
本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。