数量积公式推导过程(数量积)

导读 大家好,我是小科,我来为大家解答以上问题。数量积公式推导过程,数量积很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!1、表示方法2、两个向量...

大家好,我是小科,我来为大家解答以上问题。数量积公式推导过程,数量积很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、表示方法

2、两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b,避免和字母x混淆)。 

3、定义

4、向量积可以被定义为:。

5、模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)

6、方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。)

7、也可以这样定义(等效):

8、向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin<a,b>

9、即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积。

10、而c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手定则从a转向b来确定。

11、扩展资料:

12、证明

13、为了更好地推导,加入三个轴对齐的单位向量i,j,k。

14、i,j,k满足以下特点:

15、i=jxk;j=kxi;k=ixj;

16、kxj=–i;ixk=–j;jxi=–k;

17、ixi=jxj=kxk=0;(0是指0向量)

18、由此可知,i,j,k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

19、这三个向量的特例就是i=(1,0,0)j=(0,1,0)k=(0,0,1)。

20、对于处于i,j,k构成的坐标系中的向量u,v我们可以如下表示:

21、u=Xu*i+Yu*j+Zu*k;

22、v=Xv*i+Yv*j+Zv*k;

23、那么uxv=(Xu*i+Yu*j+Zu*k)x(Xv*i+Yv*j+Zv*k)

24、=Xu*Xv*(ixi)+Xu*Yv*(ixj)+Xu*Zv*(ixk)+Yu*Xv*(jxi)+Yu*Yv*(jxj)+Yu*Zv*(jxk)+Zu*Xv*(kxi)+Zu*Yv*(kxj)+Zu*Zv*(kxk)

25、由于上面的i,j,k三个向量的特点,所以,最后的结果可以简化为

26、uxv=(Yu*Zv–Zu*Yv)*i+(Zu*Xv–Xu*Zv)*j+(Xu*Yv–Yu*Xv)*k。

27、参考资料:搜狗百科-向量积

本文到此讲解完毕了,希望对大家有帮助。

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